浅析PID

参考学习SUNPLUS 《PID 调节控制做电机速度控制》后总结，在线阅读链接如下：

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PID 控制器是一种广泛应用于工业控制系统的控制器，它通过将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）三个部分进行线性组合，生成控制量，从而对被控对象进行控制。PID 控制器的核心思想是通过对系统偏差的实时调整，使系统的输出尽可能接近期望值。

1 模拟 PID 控制原理

模拟 PID 控制系统的原理框图

如图 1-2 所示，模拟 PID 控制系统由 PID 控制器和被控对象（如电机）组成。系统的输入是给定值 ($r(t)$)，输出是实际输出值 ($y(t)$)，偏差 ($e(t) = r(t) - y(t)$) 作为 PID 控制器的输入，控制器的输出 ($u(t)$) 作为被控对象的输入。

PID 控制器的控制规律可以用以下公式表示：

$$ u(t) = K_p \left[ e(t) + \frac{1}{T_i} \int_0^t e(\tau) d\tau + T_d \frac{de(t)}{dt} \right] $$

如何理解呢？

其中：

• $K_p$：比例系数，决定比例控制的强度。
• $T_i$：积分时间，决定积分控制的强度。
• $T_d$：微分时间，决定微分控制的强度。

PID 控制器的三个部分

比例部分（Proportion）

比例部分的数学表达式为：

$$ K_p \cdot e(t) $$

作用：比例控制的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。

特点：

• 比例系数 ($K_p$) 越大，控制作用越强，系统的响应速度越快，静态偏差越小。
• 但 $K_p$ 过大会导致系统振荡，破坏系统的稳定性。

总结：比例控制能够快速响应偏差，但过大的比例系数会导致系统不稳定。

积分部分（Integral）

积分部分的数学表达式为：

$$ \frac{K_p}{T_i} \int_0^t e(\tau) d\tau $$

作用：积分控制的作用是消除系统的稳态误差。只要存在偏差，积分控制的作用就会不断增加，直到偏差为零。

特点：

• 积分时间 ($T_i$) 越大，积分作用越弱，系统的响应速度变慢，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。
• 积分时间 ($T_i$) 越小，积分作用越强，系统的响应速度加快，但可能会引起系统振荡。

总结：积分控制能够消除系统的稳态误差，但会降低系统的响应速度，并可能引起超调。

微分部分（Differential）

微分部分的数学表达式为：

$$ K_p \cdot T_d \cdot \frac{de(t)}{dt} $$

作用：微分控制的作用是根据偏差的变化趋势进行控制。它能够在偏差变化的瞬间提前给出控制信号，抑制系统的超调和振荡。

特点：

• 微分时间 ($T_d$) 越大，微分作用越强，能够有效抑制系统的超调和振荡。
• 但微分控制对噪声敏感，噪声较大的系统中应谨慎使用微分控制。

总结：微分控制能够加快系统的响应速度，减少超调，但对噪声敏感。

PID 控制器的综合作用

PID 控制器通过比例、积分和微分三个部分的组合，能够实现对系统的快速、稳定和精确控制：

• 比例控制：快速响应偏差，减少静态误差。
• 积分控制：消除稳态误差，确保系统最终达到期望值。
• 微分控制：抑制系统的超调和振荡，提高系统的稳定性。

从模拟 PID 到数字 PID 随着计算机技术的发展，模拟 PID 控制逐渐被数字 PID 控制取代。数字 PID 控制通过将模拟 PID 控制规律进行离散化处理，能够在计算机中实现 PID 控制算法。数字 PID 控制具有以下优点：

• 灵活性：可以通过软件调整 PID 参数，适应不同的控制需求。
• 精度：数字控制能够实现高精度的控制。
• 抗干扰：数字控制对噪声和干扰的抑制能力更强。

总结

PID 控制器通过比例、积分和微分三个部分的组合，能够实现对系统的快速、稳定和精确控制。比例控制负责快速响应偏差，积分控制负责消除稳态误差，微分控制负责抑制系统的超调和振荡。通过合理调整 PID 参数，可以使系统达到最佳的控制效果。

2. 数字 PID 控制

数字 PID 控制是通过计算机实现的 PID 控制算法。与模拟 PID 控制不同，数字 PID 控制是基于离散时间采样的控制方式，因此需要对连续的 PID 控制规律进行离散化处理。数字 PID 控制算法主要分为两种：位置式 PID 和 增量式 PID。

位置式 （全量式）PID 算法

离散化处理

由于计算机控制是采样控制，系统只能在每个采样时刻根据当前的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量。因此，模拟 PID 控制中的积分和微分项需要进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T 作为采样周期， 作为采样序号，则离散采样时间对应着连续时间 ，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换 $$ t \approx kT \qquad (k = 0, 1, 2, \ldots) $$

$$ \int_0^t e(t) , dt \approx T \sum_{j=0}^{k} e(jT) = T \sum_{j=0}^{k} e_j $$

$$ \frac{de(t)}{dt} \approx \frac{e(kT) - e[(k-1)T]}{T} = \frac{e_k - e_{k-1}}{T} $$

容易联想到，这里使用中矩形法和一阶向后差分代替微分，此处的后是后方的意思，对应的是计算方法中的向前差分，那么，是否可以用三点向前公式来提高微分部分或者用牛顿-科特斯等其他方法替代呢？事实上是可以的，大部分比赛使用均为普通PID，下限高上限低，这种方法上限理论上会高一些，但调参压力应该会大很多，有没有必要在比赛中运用，效果有待测试。

基于 Runge-Kutta 模型的耦合四水箱系统自适应 PID 控制器应用 | IEEE 会议出版物 | IEEE Xplore — Runge-Kutta Model-Based Adaptive PID Controller Applied to a 4 Coupled-tank System | IEEE Conference Publication | IEEE Xplore

龙格-库塔法 vs 自适应积分法 vs 校正欧拉公式 vs 三点公式 vs 牛顿-科特斯公式

还是先回到最初的地方。

• 采样周期 $ T $：计算机每隔 $ T $ 时间采样一次系统的偏差。
• 采样序号 $ k $：表示第 $ k $ 次采样时刻，$ k = 0, 1, 2, \dots $。
• 离散时间 $ kT $：对应连续时间 $ t $。

通过离散化处理，积分和微分项可以近似表示为：

• 积分项：用矩形法数值积分近似代替连续积分。
• 微分项：用一阶后向差分近似代替连续微分。

离散化后的 PID 控制规律为：

$$ u_k = K_p \left[ e_k + \frac{T}{T_i} \sum_{j=0}^k e_j + T_d \frac{e_k - e_{k-1}}{T} \right] $$

其中：

• $ u_k $：第 $ k $ 次采样时刻的控制量。
• $ e_k $：第 $ k $ 次采样时刻的偏差。
• $ e_{k-1} $：第 $ k-1 $ 次采样时刻的偏差。
• $ K_p $：比例系数。
• $ T_i $：积分时间。
• $ T_d $：微分时间。

位置式 （全量式） PID 的数学表达式

位置式 PID 的数学表达式可以写成：

$$ u_k = K_p e_k + K_i \sum_{j=0}^k e_j + K_d (e_k - e_{k-1}) $$

其中：

• $ K_i = \frac{K_p T}{T_i} $：积分系数。
• $ K_d = \frac{K_p T_d}{T} $：微分系数。

位置式 PID 的特点

如果采样周期足够小，则前面两个公式的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。

• 全量输出：位置式 PID 直接输出控制量的绝对值，因此每次输出都与过去的状态有关。
• 计算量大：由于需要对偏差进行累加，计算量较大。
• 风险：如果计算机出现故障，控制量的突变会导致执行机构的剧烈变化，可能引发生产事故。增量式PID可以避免这种现象。

2.2 增量式 PID 算法

增量式 PID 的定义

增量式 PID 是指数字控制器的输出是控制量的增量 $ \Delta u_k $，而不是控制量的绝对值。增量式 PID 适用于执行机构需要增量控制的系统。

增量式 PID 的推导

增量式 PID 可以通过位置式 PID 推导出来。首先，写出第 $ k-1 $ 次采样时刻的控制量：

$$ u_{k-1} = K_p e_{k-1} + K_i \sum_{j=0}^{k-1} e_j + K_d (e_{k-1} - e_{k-2}) $$

然后将位置式 PID 的第 $ k $ 次控制量 $ u_k $ 与第 $ k-1 $ 次控制量 $ u_{k-1} $ 相减，得到增量式 PID 的表达式：

$$ \Delta u_k = u_k - u_{k-1} = K_p (e_k - e_{k-1}) + K_i e_k + K_d (e_k - 2e_{k-1} + e_{k-2}) $$

进一步整理后，增量式 PID 的公式为：

$$ \Delta u_k = A e_k + B e_{k-1} + C e_{k-2} $$

其中：

• $ A = K_p \left(1 + \frac{T}{T_i} + \frac{T_d}{T}\right) $
• $ B = -K_p \left(1 + \frac{2T_d}{T}\right) $
• $ C = K_p \frac{T_d}{T} $

增量式 PID 的特点

• 增量输出：增量式 PID 输出的是控制量的增量，而不是绝对值。
• 计算量小：只需要当前和前两次的偏差值和唯一确定的$A$$B$$C$，计算量较小。
• 安全性高：即使计算机出现故障，控制量的变化也不会太大，避免了执行机构的剧烈变化。

增量式 PID 的递推公式

增量式 PID 可以通过递推公式实现位置式 PID 的控制：

$$ u_k = u_{k-1} + \Delta u_k $$

这种递推公式在计算机控制中广泛应用。

总结

为什么增量式 PID 在计算机故障时更稳定？

（1）不依赖历史误差的累积

• 在位置式 PID 中，积分项是对历史误差的累积：

  u(k)=Kpe(k)+Ki∑i=0ke(i)+Kd[e(k)−e(k−1)]u(k)=Kpe(k)+Kii=0∑k**e(i)+K**d[e(k)−e(k−1)]

  如果计算机故障导致历史误差数据丢失，积分项会突然变化，导致控制量 u(k)u(k) 发生剧烈波动。

• 在增量式 PID 中，积分项只依赖于当前误差 e(k)e(k)，而不需要累积历史误差：

  Δu(k)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]Δu(k)=K**p[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+K**d[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]

  即使计算机故障导致部分数据丢失，增量式 PID 也只影响当前时刻的控制量增量 Δu(k)Δu(k)，而不会导致控制量 u(k)u(k) 的剧烈变化。

（2）增量输出的平滑性

• 增量式 PID 的输出是控制量的增量 Δu(k)Δu(k)，而不是绝对量 u(k)u(k)。即使 Δu(k)Δu(k) 发生突变，控制量的实际输出 u(k)u(k) 也只是在前一时刻的基础上增加或减少一个较小的量，因此不会出现大幅度变化。

（3）故障恢复能力强

• 如果计算机故障后恢复正常，增量式 PID 可以从当前状态继续运行，而不需要重新初始化积分项。这种特性使得增量式 PID 在故障恢复后能够快速回到正常工作状态。

增量式 PID 的其他优点

除了在计算机故障时的稳定性外，增量式 PID 还具有以下优点：

1. 无积分饱和问题：
   • 位置式 PID 的积分项可能会因为误差的长期累积而导致积分饱和，而增量式 PID 的积分项只依赖于当前误差，因此不会出现积分饱和问题。
2. 易于实现手动/自动切换：
   • 增量式 PID 的输出是控制量的增量，因此可以方便地实现手动控制和自动控制之间的切换。
3. 适合执行器带积分特性的系统：
   • 对于执行器本身具有积分特性（如步进电机）的系统，增量式 PID 更容易实现控制。

2.3.1 凑试法

凑试法是一种通过逐步调整控制器参数（比例 $K_p$、积分 $T_i$、微分 $T_d$）来优化控制系统性能的方法。它的特点是按照“先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）”的顺序进行调节。下面我用通俗易懂的语言来解释这个过程：

什么是凑试法？

凑试法是通过手动调整控制器的参数，观察系统的响应曲线，逐步找到最佳参数组合的方法。它的核心思想是：

• 先调整比例作用 $K_p$，让系统快速响应。
• 然后加入积分作用 $T_i$，消除系统的稳态误差。
• 最后加入微分作用 $T_d$，抑制系统的超调和振荡。

凑试法的步骤：

第一步：整定比例系数 $K_p$（纯比例控制）

• 将控制器的积分时间 $T_i$ 设为无穷大（$T_i = \infty$），相当于关闭积分作用。
• 将微分时间 $T_d$ 设为零（$T_d = 0$），相当于关闭微分作用。
• 只保留比例作用 $K_p$，并按照经验设置一个初始值。
• 将系统投入运行，观察系统的响应曲线。
• 由小到大调整 $K_p$，直到系统的过渡过程曲线呈现出1/4衰减度（即每个波峰的幅度是前一个波峰的1/4）。此时的比例系数 $K_p$ 是一个比较合适的值。

第二步：引入积分作用 $T_i$（PI控制）

• 在第一步的基础上，将比例系数 $K_p$ 减小到原来的 5/6（即 $K_p = \frac{5}{6} K_p$）。
• 引入积分作用，将积分时间 $T_i$ 从大到小逐步调整。
• 观察系统的响应曲线，直到系统的稳态误差被消除，同时过渡过程曲线仍然保持较好的动态性能。

第三步：引入微分作用 $T_d$（PID控制）

• 如果需要进一步优化系统性能，可以引入微分作用。
• 微分时间 $T_d$ 可以按照经验值设置，或者根据积分时间 $T_i$ 计算，通常取 $T_d = \left( \frac{1}{3} \sim \frac{1}{4} \right) T_i$。
• 将 $T_d$ 由小到大逐步调整，观察系统的响应曲线，直到系统的超调和振荡被有效抑制。

通俗理解：

你可以把控制系统想象成开车：

• 比例作用 $K_p$：就像你控制方向盘的力度。如果力度太小，车子会偏离路线；如果力度太大，车子会来回摆动。凑试法就是找到一个合适的力度，让车子既不偏离路线，又不会过度摆动。
• 积分作用 $T_i$：就像你发现车子总是偏向一边，于是你慢慢调整方向盘，直到车子回到正轨。积分作用就是消除系统的“偏差”。
• 微分作用 $T_d$：就像你提前预判路况，轻轻调整方向盘，防止车子突然转向过度。微分作用就是抑制系统的“振荡”。

注意事项：

• 1/4衰减度：这是凑试法的目标，表示系统的响应曲线在每个周期内衰减到前一个周期的1/4。这种响应既快速又稳定，适合大多数工业控制系统。
• 参数调整顺序：一定要按照“先P、再I、最后D”的顺序调整，否则可能会导致系统不稳定。
• 经验值：在实际应用中，初始参数和调整范围可以基于经验或系统特性进行设置。

总结：

凑试法是一种简单实用的控制器参数整定方法，通过逐步调整 $K_p$、$T_i$、$T_d$，最终让系统的响应既快速又稳定。虽然需要一定的经验和耐心，但它的灵活性和直观性使其在工业控制中广泛应用。

临界比例法

1. 什么是临界比例法？

临界比例法是通过调整控制器的参数（比例系数 $K_p$、积分时间 $T_i$、微分时间 $T_d$），使系统产生等幅振荡，然后根据振荡的特性来计算出最佳的控制器参数。

2. 临界比例法的步骤：

第一步：设置初始参数

• 将控制器的积分时间 $T_i$ 调到最大（相当于关闭积分作用），微分时间 $T_d$ 设为零（关闭微分作用），只保留比例作用 $K_p$。
• 让系统在自动控制下运行一段时间，确保系统处于稳定状态。

第二步：增大比例系数 $K_p$，找到临界点

• 逐渐增大比例系数 $K_p$，直到系统开始出现等幅振荡（即系统的输出在某个值附近来回波动，且波动的幅度保持不变）。
• 记录下此时的临界比例系数 $K_u$ 和临界振荡周期 $T_u$（即两个波峰之间的时间间隔）。

第三步：计算控制器参数

• 根据 $K_u$ 和 $T_u$，使用经验公式计算出控制器的最佳参数 $K_p$、$T_i$ 和 $T_d$。
• 按照“先调 $K_p$，再调 $T_i$，最后调 $T_d$”的顺序，将控制器的参数设置到计算值上。
• 如果效果还不够理想，可以进一步微调。

3. 临界比例法的注意事项：

• 临界比例系数过大：有些系统的临界比例系数 $K_u$ 可能非常大，导致系统接近“开关控制”（即控制器输出要么最大，要么最小），这对工业生产不利，可能会造成设备频繁启停，影响生产。
• 无法产生等幅振荡：有些系统即使将比例系数 $K_p$ 调到最大，也无法产生等幅振荡。这时，可以将最大刻度值作为临界比例系数 $K_u$ 来进行参数整定。

4. 通俗理解：

你可以把控制系统想象成一个调节水流的阀门。比例系数 $K_p$ 就像是你调节阀门的力度：

• 如果力度太小，水流的变化会很慢，系统反应迟钝。
• 如果力度太大，水流会来回波动，系统不稳定。
• 临界比例法就是找到一个刚好让水流开始等幅波动的力度（$K_u$），然后根据这个力度和波动的频率（$T_u$），计算出最佳的调节力度（$K_p$）、调节速度（$T_i$）和调节的提前量（$T_d$）。

通过这种方法，你可以让系统既快速响应，又不会过度波动，达到最佳的控制效果。

Ziegler-Nichols 法进行PID参数整定的基本原理

临界比例度法的步骤

临界比例度法通过调整比例增益 KpK**p，使系统产生等幅振荡（临界振荡），然后根据临界振荡的特性确定 PID 参数。

步骤 1：仅使用比例控制

• 按临界比例法得到临界比例系数 $K_u$ 和临界振荡周期 $T_u$（即两个波峰之间的时间间隔），

步骤 2：计算 PID 参数

根据 Z-N 法的推荐公式，计算 PID 控制器的参数：

Z-N 法与增量式 PID 的结合

增量式 PID 的控制量增量公式为：

$$ \Delta u(k) = K_p[e(k) - e(k-1)] + \frac{K_p}{T_i}e(k) + K_pT_d[e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)] $$

其中：

• $ K_i = \frac{K_p}{T_i} $ 是积分系数。
• $ K_d = K_pT_d $ 是微分系数。

使用 Z-N 法整定参数后，可以将 $ K_p $、$ T_i $、$ T_d $ 代入增量式 PID 公式中，实现控制器的设计。

Z-N 法与增量式 PID 的结合示例

假设通过 Z-N 法得到以下参数：

• 临界比例增益 $ K_{cr} = 10 $
• 临界振荡周期 $ T_{cr} = 2 $ 秒

根据 Z-N 法的推荐公式，PID 参数为：

$$ K_p = 0.6K_{u} = 6, \ T_i = 0.5T_{u} = 1, \ T_d = 0.125T_{u} = 0.25 $$

因此，增量式 PID 的控制量增量公式为：

$$ \Delta u(k) = 6[e(k) - e(k-1)] + \frac{6}{1}e(k) + 6 \cdot 0.25 [e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)] $$

简化后得到：

$$ \Delta u(k) = 6[e(k) - e(k-1)] + 6e(k) + 1.5[e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)] $$

总结

• Z-N 法 是一种经典的 PID 参数整定方法，通过临界振荡实验确定 $ K_p $、$ T_i $、$ T_d $。
• Z-N 法假设系统是线性的，对于非线性系统可能不适用。
• 增量式 PID 通过计算控制量的增量来调整输出，具有较强的鲁棒性和抗积分饱和能力。
• 将 Z-N 法与增量式 PID 结合，可以快速整定控制器参数，并提高系统的稳定性和可靠性。

信号采样周期选择

• 香农采样定律：采样频率必须至少是信号最高频率的两倍，否则信号会失真。
• 采样周期的选择：
  • 响应快的系统（如流量、压力）选择较短的采样周期。
  • 响应慢的系统（如温度、成分）选择较长的采样周期。
  • 采样周期应远小于干扰信号的周期。
  • 执行器响应慢时，采样周期可以适当延长。
  • 计算机性能允许时，采样周期越短，控制效果越好。
  • 对于滞后大的系统，采样周期通常为滞后时间的1/4～1/8。