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傅里叶变换求解偏微分方程

傅里叶变换的核心作用在于将偏微分方程转换为更简单的形式，从而简化求解过程。下面将详细介绍其主要应用方式。

1.1 从偏微分方程到常微分方程

通过对空间变量应用傅里叶变换，偏微分方程中的空间导数可转换为代数项，将偏微分方程简化为关于时间变量的常微分方程（ODEs）。

以热传导方程为例：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

对空间变量 $x$ 进行傅里叶变换，定义

$$ \hat{u}(\xi,t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-2\pi i \xi x} , dx, $$

则原方程变为

$$ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial x^2}. $$

利用傅里叶变换的性质，空间二阶导数转换为

$$ \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial x^2} = -4\pi^2 \xi^2 \hat{u}(\xi,t), $$

从而原方程可写为

$$ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = -4\pi^2 \alpha \xi^2 \hat{u}. $$

该方程关于 $t$ 的解为

$$ \hat{u}(\xi,t) = \hat{u}(\xi,0)e^{-4\pi^2 \alpha \xi^2 t}, $$

其中 $\hat{u}(\xi,0)$ 为初始条件 $u(x,0)$ 的傅里叶变换。通过反傅里叶变换，即可求得原始解 $u(x,t)$：

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(\xi,0)e^{-4\pi^2 \alpha \xi^2 t}e^{2\pi i \xi x} , d\xi. $$

1.2 处理初始条件与边界条件

傅里叶变换特别适用于无限域问题，因为它天然适应无限边界。例如，在热传导方程中，假设初始条件为

$$ u(x,0) = f(x), $$

则有

$$ \hat{u}(\xi,0) = \hat{f}(\xi). $$

代入上式得到

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)e^{-4\pi^2 \alpha \xi^2 t}e^{2\pi i \xi x} , d\xi. $$

对于有限域问题，可以采用傅里叶级数来处理边界条件。

1.3 卷积定理的妙用

傅里叶变换的卷积定理表明，两个函数的卷积在频域中对应于它们傅里叶变换的乘积：

$$ \widehat{f * g} = \hat{f} \cdot \hat{g}. $$

在热传导方程中，解 $u(x,t)$ 可表示为初始条件 $f(x)$ 与一个高斯核（基本解）的卷积：

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)G(x-y,t) , dy, $$

其中

$$ G(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha t}}e^{-\frac{x^2}{4\alpha t}} $$

为热传导方程的格林函数。这种形式直观地展示了热量如何从初始分布中扩散。

1.4 非齐次方程的求解

对于非齐次偏微分方程，例如：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + q(x,t), $$

应用傅里叶变换后，方程变为

$$ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = -4\pi^2 \alpha \xi^2 \hat{u} + \hat{q}(\xi,t). $$

这是一个非齐次常微分方程，可以利用常数变易法或格林函数法求解，最后再通过反变换得到 $u(x,t)$ 的解。